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Voici quelques questions qui demandent une réponse:
1- Est-ce que l'ensemble V={[x,y]eR^2|xy=0} avec l'addition usuelle et la multiplication par un scalaire usuelle sur l'espace euclidien de dimension deux est un espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple.
2- Est-ce que l'ensemble V={[x,y]eR^2|xy=1} avec l'addition usuelle et la multiplication par un scalaire usuelle sur l'espace euclidien de dimension deux est un espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple.
3- Est-ce que R^n avec l'addition u_ + v_ = 0_ et la multiplication par un scalaire kv_=0_ est espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple. (Il faut bien comprendre que u_ et v_ sont des vecteurs de R^n, 0_ le vecteur nul et k un scalaire réel.)
Je reviendrai,
JC
1- Est-ce que l'ensemble V={[x,y]eR^2|xy=0} avec l'addition usuelle et la multiplication par un scalaire usuelle sur l'espace euclidien de dimension deux est un espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple.
2- Est-ce que l'ensemble V={[x,y]eR^2|xy=1} avec l'addition usuelle et la multiplication par un scalaire usuelle sur l'espace euclidien de dimension deux est un espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple.
3- Est-ce que R^n avec l'addition u_ + v_ = 0_ et la multiplication par un scalaire kv_=0_ est espace vectoriel ? Si oui, démontrez les 10 propriétés ou utilisez le théorème 11.2 (page 452). Sinon, donnez un contre-exemple. (Il faut bien comprendre que u_ et v_ sont des vecteurs de R^n, 0_ le vecteur nul et k un scalaire réel.)
Je reviendrai,
JC
Bon!
Bon bon bon!
Comme je vois que les gens sont un p'tit peu trop timide pour répondre, je vais répondre.
Je sais que mon message à été vu 31 fois depuis, mais bon...
1 - Le premier n'est pas un espace vectoriel bien évidemment puisque que cet espace n'est pas fermée pour l'addition. Il suffit de prendre les vecteurs i_=[1 0] et j_=[0 1]. Ces deux vecteurs sont dans V, mais i_ + j_ = [1 1] qui n'est pas dans V.
2 - De mème, pour le deuxième: Prenons u_ = [-1 -1] et v_=[1 1]. Ces deux vecteurs sont dans V, mais u_ + v_ = 0_ qui n'est pas dans V.
3 - La troisième question nous renvois aux opérateurs dits triviaux. L'addition et le produit par un scalaire envoient tout sur le vecteur nul. Voyons voir:
Propriétés de l'addition:
Fermeture: Évident puis que le vecteur nul est dans R^n: u_ + v_ = 0_ eR^n
Commutativité: u_ + v_= 0_ = v_ + u_
Associativité: u_ + (v_ + w_) = u_ + 0_ = 0_ = 0_ + w_ = (u_ + v_) + w_
Existance d'un neutre: Je penses qu'on arrête ici!
Quelqu'un peut-il terminer de répondre à la question ?
Pourquoi je m'arrête ici ?
Est-ce que c'est un e.v. ?
Soyez pas timide! Ce serait tellement cool de voir ce dont vous êtes capable.
Je reviendrai,
JC
Comme je vois que les gens sont un p'tit peu trop timide pour répondre, je vais répondre.
Je sais que mon message à été vu 31 fois depuis, mais bon...
1 - Le premier n'est pas un espace vectoriel bien évidemment puisque que cet espace n'est pas fermée pour l'addition. Il suffit de prendre les vecteurs i_=[1 0] et j_=[0 1]. Ces deux vecteurs sont dans V, mais i_ + j_ = [1 1] qui n'est pas dans V.
2 - De mème, pour le deuxième: Prenons u_ = [-1 -1] et v_=[1 1]. Ces deux vecteurs sont dans V, mais u_ + v_ = 0_ qui n'est pas dans V.
3 - La troisième question nous renvois aux opérateurs dits triviaux. L'addition et le produit par un scalaire envoient tout sur le vecteur nul. Voyons voir:
Propriétés de l'addition:
Fermeture: Évident puis que le vecteur nul est dans R^n: u_ + v_ = 0_ eR^n
Commutativité: u_ + v_= 0_ = v_ + u_
Associativité: u_ + (v_ + w_) = u_ + 0_ = 0_ = 0_ + w_ = (u_ + v_) + w_
Existance d'un neutre: Je penses qu'on arrête ici!
Quelqu'un peut-il terminer de répondre à la question ?
Pourquoi je m'arrête ici ?
Est-ce que c'est un e.v. ?
Soyez pas timide! Ce serait tellement cool de voir ce dont vous êtes capable.
Je reviendrai,
JC
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